MATEMATIKA KELAS VIII (SPLDV)

 Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang didefinisikan sebagai ax + by + c = 0 dengan  a dan b tidak sama dengan nol, di mana x dan y adalah variabel, a koefisien dari x, b koefisien dari y, dan c adalah konstanta. Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a, b keduanya tidak nol. Himpunan penyelesaian persamaan linear ax + by = c adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan linear tersebut.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu.

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel x dan y adalah:

a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂ 

Dengan a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ bilangan real; a₁ dan b₁ tidak keduanya 0; a₂ dan b₂ tidak keduanya 0.

x, y : variabel

a₁, a₂ : koefisien variabel x

b₁, b₂ : koefisien variabel y

c₁, c₂ : konstanta persamaan

Dalam menentukan penyelesaian dari SPLDV, dapat menggunakan beberapa cara berikut ini:

A.       Metode Subsitusi

Pada metode ini, salah satu variabel dari salah satu persamaan disubstitusikan sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel saja. Adapun langkah-langkah untuk mencari penyelesaian dengan metode subsitusi adalah:

Cara 1: Mengganti (mensubstitusi) y

Cara 2: Mengganti (mensubstitusi) x

Contoh:

Jumlah dua bilangan adalah 18. Jika bilangan pertama dikalikan dua, maka hasilnya adalah bilangan kedua dikurangi tiga. Hasil kali dari kedua bilangan tersebut adalah...

Solusi:

Diketahui:  Jumlah dua bilangan adalah 18

Jika bilangan pertama dikalikan dua, maka hasilnya adalah bilangan kedua dikurangi tiga

Ditanya: Hasil kali dari kedua bilangan tersebut

Misalkan: Bilangan I = x

                   Bilangan II = y

Jumlah dua bilangan adalah 18, didapat:

x + y = 18

x = 18 – y ............................(1)

Bilangan pertama dikalikan dua, maka hasilnya bilangan kedua dikurangi tiga, didapat:

2x = y - 3 ..............................(2)

Substitusikan (1) ke persamaan (2):

2x = y – 3

2(18 – y) = y – 3

36 – 2y = y – 3

36 + 3 = y + 2y

39 = 3y

y   = 13

Substitusikan y = 13 ke persamaan (1):

x = 18 – y

x = 18 – 13

x = 5

Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah:

x . y = 5 . 13 = 65

B.  Metode Eliminasi

Permasalahan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi. Metode eliminasi yaitu menghilangkan salah satu variabel, x atau y, dari suatu sistem persamaan linear untuk memperoleh nilai dari variabel yang lain. Koefisien dari variabel x atau y harus sama. Kita dapat mengeliminasi/menghilangkan salah satu variabel dengan cara penjumlahan atau pengurangan.

Contoh: 

Panjang sebuah persegi panjang 9 cm lebih dari lebarnya. Jika kelilingnya 74 cm, maka luas persegi panjang itu adalah?

Solusi:

Diketahui:  Panjang sebuah persegi panjang 9 cm

                   Kelilingnya 74 cm

Ditanya: luas persegi panjang adalah?

Misal: Panjang  = P

     Keliling =  K          

     Lebar  = L         

Model matematika:

Karena Panjang sebuah persegi panjang 9 cm lebih dari lebarnya, maka :

P = L + 9

P – L = 9 ......................(1)

K = 2 ( P + L) ® (rumus keliling persegi panjang)

74 = 2 ( P + L ) 

P + L = 37 .................(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2);

P – L = 9                                   P – L = 9

P + L = 37  +                             P + L = 37  –

    2P = 46                                    – 2L = – 28

      P = 23 cm                                   L = 14 cm

Luas persegi panjang = P x L  = 23 x 14 = 322 cm²

C.  Metode Gabungan (substitusi-eliminasi)

Pada metode gabungan (substitusi-eliminasi), untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel yaitu dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan  tersebut. Jika variabel yang digunakan x dan y, untuk menentukan variabel x maka kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu dan sebaliknya. Kemudian mensubstitusikan salah satu variabel yang sudah didapatkan dari mengeliminasikan sebelumnya ke salah satu sistem persamaan  tersebut. Contoh:

Di bawah ini terdapat tiga tower yang memiliki tinggi berbeda dan tersusun dari dua bangun yaitu bangun segienam dan persegi panjang. Berapakah tinggi tower 3 tersebut ?

Solusi:

Diketahui: Tiga tower yang memiliki tinggi berbeda dan tersusun dari dua bangun yaitu bangun segienam dan persegi panjang.

Ditanya   : Berapakah tinggi tower 3 tersebut ?

Misalkan: Bangun segienam = a

           Bangun persegi panjang = b

Model matematikanya:

Tower 1 ® 3a + 3b = 21 ....................(1)

Tower 2 ® 3a + 2b = 19 .....................(2)

Tower 3 ®    a + 2b = ? .......................(3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2);

3a + 3b = 21

3a + 2b= 19 –

          b = 2 m

Substitusikan b = 2 ke persamaaan (2);

3a + 2b= 19

3a + 2.2 = 19

3a + 4 = 19

      3a = 15

        a = 5 m

Substitusikan a = 5 dan b = 2 ke persamaan (3):

a + 2b = 5 + 2(2)

           = 14 cm

Jadi, tinggi tower 3 adalah 14 cm